Главная Windows Как решать интегралы заменой переменной. Интегрирование заменой переменной

Как решать интегралы заменой переменной. Интегрирование заменой переменной

Метод основан на следующей формуле: ò f(x)dx = ò f(j(t)) j`(t) dt, где x = j(t) - функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Доказательство. Найдем производные по переменной t от левой и правой частей формулы.

Отметим, что в левой части находится сложная функция, промежуточным аргументом которой является x = j(t). Поэтому, чтобы дифференцировать ее по t, сначала дифференцируем интеграл по x, а затем возмем производную от промежуточного аргумента по t.

(ò f(x)dx)` t = (ò f(x)dx)` x *x` t = f(x) j`(t)

Производная от правой части:

(ò f(j(t)) j`(t) dt)` t = f(j(t)) j`(t) = f(x) j`(t)

Так как эти производные равны, по следствию из теоремы Лагранжа левая и правая части доказываемой формулы отличаются на некоторую постоянную. Поскольку сами неопределенные интегралы определены с точностью до неопределенного постоянного слагаемого, то указанную постоянную в окончательной записи можно опустить. Доказано.

Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл, а в простейших случаях свести его к табличному. В применении этого метода различают методы линейной и нелинейной подстановки.

а) Метод линейной подстановки рассмотрим на примере.

Пример 1. . Пусть t = 1 – 2x, тогда

dx = d(½ - ½ t) = - ½ dt

Следует отметить, что новую переменную можно не выписывать явно. В таких случаях говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала, - т.е. о неявной замене переменной .

Пример 2. Например, найдем òcos(3x + 2)dx. По свойствам дифференциала
dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), тогда òcos(3x + 2)dx = ò(1/3)cos(3x + 2)d(3x +
+ 2) = (1/3)òcos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) + C.

В обоих рассмотренных примерах для нахождения интегралов была использована линейная подстановка t = kx + b (k ¹ 0).

В общем случае справедлива следующая теорема.

Теорема о линейной подстановке . Пусть F(х) - некоторая первообразная для функции f(х). Тогда òf(kx + b)dx = (1/k)F(kx + b) + C, где k и b - некоторые постоянные, k ¹ 0.

Доказательство.

По определению интеграла òf(kx + b)d(kx + b) = F(kx + b) + C. Ho
d(kx + b)= (kx + b)`dx = kdx. Вынесем постоянный множитель k за знак интеграла: kòf(kx + b)dx = F(kx + b) + C. Теперь можно разделить левую и правую части равенства на k и получить доказываемое утверждение с точностью до обозначения постоянного слагаемого.

Данная теорема утверждает, что если в определение интеграла ò f(x)dx = F(x) + C вместо аргумента х подставить выражение (kx + b), то это приведет к появлению дополнительного множителя 1/k перед первообразной.

С использованием доказанной теоремы решим следующие примеры.

Пример 3.

Найдем . Здесь kx + b = 3 – x, т.е. k = -1, b = 3. Тогда

Пример 4.

Найдем . Здесь kx + b = 4x + 3, т.е. k = 4, b = 3. Тогда

Пример 5.

Найдем . Здесь kx + b = -2x + 7, т.е. k = -2, b = 7. Тогда

Пример 6. Найдем . Здесь kx + b = 2x + 0, т.е. k = 2, b = 0.

Сравним полученный результат с примером 8, который был решен методом разложения. Решая эту же задачу другим методом, мы получили ответ . Сравним полученные результаты: . Таким образом, эти выражения отличаются друг от друга на постоянное слагаемое , т.е. полученные ответы не противоречат друг другу.

Пример 7. Найдем . Выделим в знаменателе полный квадрат.

В некоторых случаях замена переменной не сводит интеграл непосредственно к табличному, но может упростить решение, сделав возможным применение на последующем шаге метода разложения.

Пример 8. Например, найдем . Заменим t = x + 2, тогда dt = d(x + 2) = dx. Тогда

где С = С 1 – 6 (при подстановке вместо t выражения (x + 2) вместо первых двух слагаемых получим ½x 2 -2x – 6).

Пример 9. Найдем . Пусть t = 2x + 1, тогда dt = 2dx; dx = ½ dt; x = (t – 1)/2.

Подставим вместо t выражение (2x + 1), раскроем скобки и приведем подобные.

Отметим, что в процессе преобразований мы перешли к другому постоянному слагаемому, т.к. группу постоянных слагаемых в процессе преобразований можно было опустить.

б) Метод нелинейной подстановки рассмотрим на примере.

Пример 1. . Пусть t = - x 2 . Далее можно было бы выразить х через t, затем найти выражение для dx и реализовать замену переменной в искомом интеграле. Но в данном случае проще поступить по-другому. Найдем dt = d(-x 2) = -2xdx. Отметим, что выражение xdx является сомножителем подынтегрального выражения искомого интеграла. Выразим его из полученного равенства xdx = - ½ dt. Тогда

= ò (- ½)e t dt = (- ½)ò e t dt = (- ½)e t + C = (- ½) + C

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 2. Найдем . Пусть t = 1 - x 2 . Тогда

Пример 3. Найдем . Пусть t = . Тогда

Пример 4. В случае нелинейной подстановки также бывает удобно использовать неявную замену переменной.

Например, найдем . Запишем xdx =
= (-1/4)d(3 - 2x 2) (неявно заменили переменной t = 3 - 2x 2). Тогда

Пример 5. Найдем . Здесь тоже введем переменную под знак дифференциала: (неявная замена t = 3 + 5x 3). Тогда

Пример 6. Найдем . Поскольку ,

Пример 7. Найдем . Поскольку , то

Рассмотрим несколько примеров, в которых возникает необходимость сочетать различные подстановки.

Пример 8. Найдем . Пусть
t = 2x + 1, тогда x = (t – 1)/2; dx = ½ dt.

Пример 9. Найдем . Пусть
t = x - 2, тогда x = t + 2; dx = dt.

А способы приведения интегралов к табличным мы Вам перечислили:

метод замены переменной;

метод интегирования по частям;

Метод непосредственного интегрирования

способы представления неопределенных интегралов через табличные для интегралов от рациональных дробей;

методы представления неопределенных интегралов через табличные интегралы для интегралов от иррациональных выражений;

способы выражения неопределенных интегралов через табличные для интегралов от тригонометрических функций.

Неопределенный интеграл степенной функции

Неопределенный интеграл експоненты показательной функции

А вот неопределенный интеграл логарифма не является табличным интегралом, вместо него табличной является формула:

Неопределенные интегралы тригонометрических функций: Интегралы синуса косинуса и тангенса

Неопределенные интегралы с обратными тригонометрическими функциями

Приведение к табличному виду или метод непосредственного интегрирования . С помощью тождественных преобразований подынтегральной функции интеграл сводится к интегралу, к которому применимы основные правила интегрирования и возможно использование таблицы основных интегралов.

Пример

Задание. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся свойствами интеграла и приведем данный интеграл к табличному виду.

Ответ.

Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами:

– Подведение функции под знак дифференциала. – Собственно замена переменной.

Подведение функции под знак дифференциала

Пример 2

Выполнить проверку.

Анализируем подынтегральную функцию. Здесь у нас дробь, причем в знаменателе линейная функция (с «иксом» в первой степени). Смотрим в таблицу интегралов и находим наиболее похожую вещь: .

Подводим функцию под знак дифференциала:

Те, кому трудно сразу сообразить, на какую дробь нужно домножать, могут быстренько на черновике раскрыть дифференциал: . Ага, получается , значит, чтобы ничего не изменилось, мне надо домножить интеграл на . Далее используем табличную формулу :

Проверка: Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

Пример 5

Найти неопределенный интеграл.

В качестве примера я взял интеграл, который мы рассматривали в самом начале урока. Как мы уже говорили, для решения интеграла нам приглянулась табличная формула , и всё дело хотелось бы свести к ней.

Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой. В данном случае напрашивается: Вторая по популярности буква для замены – это буква . В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.

Итак: Но при замене у нас остаётся ! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной , то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву , и дифференциалу там совсем не место. Следует логичный вывод, что нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от .

Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере, , нам нужно найти дифференциал . С дифференциалами, думаю, дружба уже у всех налажена.

Так как , то

После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко: Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам :

В итоге: Таким образом: А это уже самый что ни на есть табличный интеграл (таблица, интегралов, естественно, справедлива и для переменной ).

В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что .

Готово.

Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:

“

Проведем замену:

“

Значок не несет никакого математического смысла, он обозначает, что мы прервали решение для промежуточных объяснений.

При оформлении примера в тетради надстрочную пометку обратной замены лучше выполнять простым карандашом.

Внимание! В следующих примерах нахождение дифференциала расписываться подробно не будет.

А теперь самое время вспомнить первый способ решения:

В чем разница? Принципиальной разницы нет. Это фактически одно и то же. Но с точки зрения оформления задания метод подведения функции под знак дифференциала – гораздо короче. Возникает вопрос. Если первый способ короче, то зачем тогда использовать метод замены? Дело в том, что для ряда интегралов не так-то просто «подогнать» функцию под знак дифференциала.

Интегрирование по частям. Примеры решений

Интегралы от логарифмов

Пример 1

Найти неопределенный интеграл.

Классика. Время от времени данный интеграл можно встретить в таблицах, но пользоваться готовым ответом нежелательно, так как у преподавателя весенний авитаминоз и он сильно заругается. Потому что рассматриваемый интеграл отнюдь не табличный – он берётся по частям. Решаем:

Прерываем решение на промежуточные объяснения.

Используем формулу интегрирования по частям:

Формула применяется слева направо

Смотрим на левую часть: . Очевидно, что в нашем примере (и во всех остальных, которые мы рассмотрим) что-то нужно обозначить за , а что-то за .

В интегралах рассматриваемого типа за всегда обозначается логарифм.

Технически оформление решения реализуется следующим образом, в столбик записываем:

То есть, за мы обозначили логарифм, а за – оставшуюся часть подынтегрального выражения.

Следующий этап: находим дифференциал :

Дифференциал – это почти то же самое, что и производная, как его находить, мы уже разбирали на предыдущих уроках.

Теперь находим функцию . Для того чтобы найти функцию необходимо проинтегрироватьправую часть нижнего равенства :

Теперь открываем наше решение и конструируем правую часть формулы: . Вот кстати, и образец чистового решения с небольшими пометками:

Единственный момент, в произведении я сразу переставил местами и , так как множитель принято записывать перед логарифмом.

Как видите, применение формулы интегрирования по частям, по сути дела, свело наше решение к двум простым интегралам.

Обратите внимание, что в ряде случаев сразу после применения формулы, под оставшимся интегралом обязательно проводится упрощение – в рассматриваемом примере мы сократили подынтегральное выражение на «икс».

Выполним проверку. Для этого нужно взять производную от ответа:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл решён правильно.

В ходе проверки мы использовали правило дифференцирования произведения: . И это не случайно.

Формула интегрирования по частям и формула – это два взаимно обратных правила.

Интегралы от экспоненты, умноженной на многочлен

Общее правило: за

Пример 5

Найти неопределенный интеграл.

Используя знакомый алгоритм, интегрируем по частям:

Если возникли трудности с интегралом , то следует вернуться к статье Метод замены переменной в неопределенном интеграле .

Единственное, что еще можно сделать, это «причесать» ответ:

Но если Ваша техника вычислений не очень хороша, то самый выгодный вариант оставить ответом или даже

То есть, пример считается решенным, когда взят последний интеграл. Ошибкой не будет, другое дело, что преподаватель может попросить упростить ответ.

Интегралы от тригонометрических функций, умноженных на многочлен

Общее правило: за всегда обозначается многочлен

Пример 7

Найти неопределенный интеграл.

Интегрируем по частям:

Хммм, …и комментировать нечего.

При вычислении определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница предпочтительно жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нахождение приращения первообразной). Такой подход, использующий, в частности, формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла, обычно позволяет упростить запись решения.

ТЕОРЕМА. Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α,β], а=φ(α), в=φ(β) и функция f(х) непрерывна в каждой точке х вида х=φ(t), где t[α,β].

Тогда справедливо следующее равенство:

Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Подобно тому, как это было в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному (табличным). При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования α и β по новой переменной t как решение относительно переменной t уравнений φ(t)=а и φ(t)=в. На практике, выполняя замену переменной, часто начинают с того, что указывают выражение t=ψ(х) новой переменной через старую. В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной t упрощается: α=ψ(а), β=ψ(в).

Пример 19. Вычислить

Положим t=2-х 2 . Тогда dt=d(2-х 2)=(2-х 2)"dx=-2xdx и xdx=-dt. Если х=0, то t=2-0 2 =2, и если х=1, то t=2-1 2 =1. Следовательно:

Пример 20. Вычислить

Воспользуемся заменой переменной . Тогда и . Если х=0, то t=1 и, если х=5, то t=4. Выполняя замену, получим.

Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием

удаётся не всегда. Одним из наиболее эффективных приёмов

является метод подстановки или замены переменной интегрирования.

Сущность этого метода заключается в том, что путём введения новой переменной интегрирования удаётся свести заданный интеграл к

новому интегралу, который берётся непосредственным интегрированием.

Рассмотрим этот метод:

Пусть - непрерывная функция

необходимо найти: (1)

Сделаем замену переменной интегрирования:

где φ (t) – монотонная функция, которая имеет непрерывную производную

и существует сложная функция f (φ (t)).

Применив к F (х) = F(φ (t)) формулу дифференцирования сложной

функции, получим:

﴾F (φ (t))﴿′ = F′(x) ∙ φ′ (t)

Но F′(x) = f (x) = f (φ (t)), поэтому

﴾F (φ (t))﴿′ = f (φ (t)) ∙ φ′ (t) (3)

Таким образом, функция F(φ (t)) является первообразной для функции

f (φ (t)) ∙ φ′ (t), поэтому:

∫ f (φ (t)) ∙ φ′ (t) dt = F (φ (t)) + C (4)

Учитывая, что F (φ (t)﴿ = F (x), из (1) и (4) следует формула замены

переменной в неопределённом интеграле:

∫ f (x)dx = ∫ f(φ (t)) φ′ (t)dt (5)

Формально формула (5) получается заменой х на φ (t) и dх на φ′ (t)dt

В полученном после интегрирования по формуле (5) результате следует

перейти снова к переменной х. Это всегда возможно, так как по предпо-

ложению функция х = φ (t) монотонна.

Удачный выбор подстановки обычно представляет известные труд-

ности. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифферен-

цирования и хорошо знать табличные интегралы.

Но все же можно установить ряд общих правил и некоторых приемов

интегрирования.

Правила интегрирования способом подстановки:

1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подинтегральное выражение, если нужно).

2. Определяют, какую часть подинтегральной функции нужно заменить

новой переменной, и записывают эту замену.

3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифферен-

циал старой переменной (или выражение, содержащее этот диффе-

ренциал) через дифференциал новой переменной.

4. Производят замену под интегралом.

5. Находят полученный интеграл.

6. В результате переходят к старой переменной.

Примеры решения интегралов способом подстановки:

1. Найти: ∫ х²(3+2х ) dx

Решение:

сделаем подстановку 3+2х = t

Найдём дифференциал обеих частей подстановки:

6x dx = dt, откуда

Следовательно:

∫ x (3+2x ) dx = ∫ t ∙ dt = ∫ t dt = ∙ + C = t + C

Заменив t на его выражение из подстановки, получим:

∫ x (3+2x ) dx = (3+2x ) + С

Решение:

= = ∫ е = е + C = е + C

Решение:

Понятие определённого интеграла.

Разность значений для любой первообразной функции при изменении аргумента от до называется определенный интегралом этой функции в пределах от а до b и обозначается:

а и b называются нижним и верхним пределами интегрирования.

Чтобы вычислить определенный интеграл нужно:

1. Найти соответствующий неопределенный интеграл

2. Подставить в полученное выражение вместо х сначала верхний предел интегрирования в, а затем нижний – а.

3. Из первого результата подстановки вычесть второй.

Коротко это правило записывается в виде формул так:

Эта формула называется формулой Ньютона - Лейбница.

Основные свойства определенного интеграла:

1. , где K=const

3. Если , то

4. Если функция неотрицательна на отрезке , где , то

При замене в определенном интеграле старой переменной интегрирования на новую необходимо старые пределы интегрирования заменить новыми. Эти новые пределы определяются выбранной подстановкой.

Применение определённого интеграла.

Площадь криволинейной трапеции ограниченной кривой , осью абсцисс и двумя прямыми и вычисляется по формуле:

Объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной кривой , не меняющей свой знак на , осью абсцисс и двумя прямыми и вычисляется по формуле:

С помощью определенного интеграла можно решать и ряд физических задач.

Например:

Если скорость прямолинейно движущегося тела является известной функцией времени t, то путь S, пройденный этим телом с момента времени t = t 1 до момента времени t = t 2 определяется формулой:

Если переменная сила является известной функцией пути S (при этом предполагается, что направление силы не меняется) то работа А, совершаемая этой силой на пути от до определяется формулой:

Примеры:

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = ; y = (x-2) 2 ; 0x.

Решение:

а) Построим графики функций: y = ; y = (x-2) 2

б) Определим фигуру, площадь которой нужно вычислить.

в) Определим пределы интегрирования, решая уравнение: = (x-2) 2 ; x = 1 ;

г) Вычисляем площадь заданной фигуры:

S = dx + 2 dx = 1 ед 2

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Y = x 2 ; x = y 2 .

Решение:

x 2 = ; x 4 = x ;

x (x 3 – 1) = 0

x 1 = 0 ; x 2 = 1

S = - x 2) dx = ( x 3\2 - ) │ 0 1 = ед 2

3. Вычислить объём тела, полученного вращением вокруг оси 0x фигуры, ограниченной линиями: y = ; x = 1 .

Решение:

V = π dx = π ) 2 dx = π = π │ = π/2 ед. 3

Домашняя контрольная работа по математике
Варианты заданий.

Вариант №1

y = (x + 1) 2 ; y = 1 – x ; 0x

Вариант № 2